Для вывода результата работы скрипта в лог файл с датой ( временем)
myscript.sh >> /var/log/myscriptlog/"$(date +%Y-%m-%d)".log
Если мы хотим это делать запускать через cron, то необходимо экранировать переменные
соответсвенно строка в /etc/crontab будет выглядеть следующим образом
*/5 * * * * myscript.sh >> /var/log/myscriptlog/"$(date +\%Y-\%m-\%d)".log